Devi scegliere la forma che ha il perimetro minore a parità di superficie:

in questo modo hai a disposizione il massimo “spazio” interno e devi fabbricare il minor contorno esterno:

1- Per comodità esamina i poligoni regolari, perché sono forme con cui posso fare delle previsioni MATEMATICHE.

Punto di partenza sempre e SOLO l’area alla quale diamo il valore arbitrario di 100 u^2.

Quindi per ogni poligono parti dalla formula dell’area

Conclusione: ........................................

2- Un rettangolo e un quadrato hanno lo stesso perimetro di 40 u. Quale ha area maggiore? fai tutte le prove che vuoi, con tutti i rettangoli che ti vengono in mente, purchè il loro perimetro sia comunque di 40 u.

Conclusione:........................................

1) A parità di perimetro di due poligoni regolari, ha area maggiore quello che ha il maggior numero di lati.

2) Tra due poligoni di uguale perimetro  quello regolare  ha area maggiore.

Conosci una applicazione naturale di ciò?

Possiamo cercare di scoprire e capire i motivi e le regole che aiutano le api a realizzare ciò di cui si sente la necessità; esse, guidate da un istinto infallibile, hanno scelto nella costruzione delle celle la soluzione migliore: quella che avrà la massima capacità di contenere il miele, quindi lo stesso VOLUME (proporzionale all'area di base),e la minore richiesta di cera per la costruzione, quindi MINIMA SUPERFICIE LATERALE( proporzionale al perimetro).

Potrebbe andare bene quindi la cella circolare, ma tra cella e cella esisterebbero spazi vuoti che toglierebbero compattezza.
Bisogna fare un tipo di tassellatura che non lasci interspazi, e questo è possibile solo con il triangolo equilatero o con il quadrato o con l’esagono regolare: sei triangoli equilateri, quattro quadrati, tre esagoni regolari attaccati  danno un angolo giro ovvero 360°. Ma quale sarà la soluzione migliore? Sarà quella che a parità di cera  necessaria per costruire avrà la massima capacità. L’ape, tra triangolo equilatero, quadrato ed esagono regolare, sceglie  l’esagono regolare, unendo così esigenze di economia e di lavoro. 

Ma ciò che costituisce il particolare più significativo dal punto di vista geometrico  è proprio la base della stessa cella.
Infatti le celle esagonali sono costruite a forma di prisma e leggermente inclinate con l’apertura verso l’alto, per poter contenere una sufficiente quantità di miele e di polline senza che questo coli all’esterno.
I fondi delle celle sono incastrati in modo preciso e regolare, così che l’ape risparmia energia nella produzione della cera, fatica nel lavoro di costruzione e anche materiale, in modo da non appesantire l’alveare.